２直線間の距離（３次元）

2005/12/15

左図のように点aを通り方向ベクトルがdaの直線 l ，それと，点bを通り方向ベクトルがdbの直線 m を考えます．

l上に点pを，m上に点qをとります．
p は l上にあるのでsをパラメータとして

p = a + s da

と書けます．同様にq は m上にあるのでtをパラメータとして

q = b + t db

と書けます．次にpq = q - pとすると

pq = (b + t db) - (a + s da)
　　= b - a + t db - s da

|pq|が最小のときpq⊥daかつpq⊥dbとなるから

pq・da = 0
pq・db = 0 （・は内積記号）

この２式よりsとtの２元連立方程式になるのでs, tを出します．結局，ab=b-aとして，

s = { |db|²(ab・da) - (da・db)(ab・db) } / { |da|²|db|² - (da・db)²}
t = { (da・db)(ab・da) - |da|²(ab・db) } / { |da|²|db|² - (da・db)²}

と求まり，

p = a + s*da

q = b + t*db

に代入し，|pq|が求める２直線間の距離になります．